Algebra 1 (voorjaar 2012)

Mededelingen

• Op donderdag 8 maart vindt het hoorcollege ergens anders plaats; nl. in zaal C1 van het Gorlaeus Laboratorium.
• Op donderdag 19 april vindt het hoorcollege ergens anders plaats; nl. in zaal C3 van het Gorlaeus Laboratorium.
• Vanaf inleverdatum 5 april bestaat het huiswerk uit 3 opgaven, cijfer = 1 + aantal punten.

• Tentamenstof. Alles wat behandeld is, dus hoofdstukken 1 t/m 6, en hoofdstuk 8 tot voorbeeld 8.7. Van hoofdstuk 3 (Symmetrieen van het vlak) alleen de dihedrale groepen.

  De tentamens van juni 2006 en juni 2005 kunnen als oefententamens worden gezien.

  Het tentamen vindt plaats op donderdag 28 juni, 10.00–13.00. Locatie: Gorlaeus, zalen C4 en C5. Voor voldoende papier wordt gezorgd. Dictaat, aantekeningen, en boeken mogen worden gebruikt, maar GEEN rekenmachine of andere electronische hulpmiddelen. Er mag verwezen worden naar uitspraken die in het dictaat bewezen zijn, maar niet naar opgaven, tenzij anders vermeld. Op de achterkant van het tentamen staan een aantal formules en resultaten waar naar verwezen mag worden.

• De laatste huiswerkset is nagekeken, en vanaf maandag 11 juni beschikbaar.

  Delftse studenten: neem contact op met Joost de Groot.
  Leidse studenten: kijk in het `tentamenkastje' (bovenste rij, tweede vak van links) bij de koffiehoek in het Mathematisch Instituut.

  De cijfers staan nu on-line. Controleer je eigen cijferlijst, en neem als nodig contact op met de betreffende assistenten.

• De uitwerkingen van het tentamen algebra 1 van 28 juni kunnen worden ingezien op woensdag 11 juli, van 10–13 uur, bij de secretaresse van het Mathematisch Instituut, Tineke Bakker-Bouma, kamer 203a.

  Helaas kunnen dan geen inhoudelijke vragen worden gesteld (docent en assistenten zijn afwezig).

  De uitwerkingen mogen niet worden meegenomen. Wel is er de gelegenheid er een copie van te maken.

  Vanaf 1 augustus ben ik weer op het instituut om inhoudelijke vragen te beantwoorden. De herkansing is op 9 augustus, 14–17 uur, zalen 312 en 412 van het MI.

Rooster

Hoorcollege

• Docent: Bas Edixhoven, kamer 236, e-mail: edix (at) math.leidenuniv.nl
• Locatie: Gorlaeus laboratorium C4/5, (routebeschrijving)
• Data: donderdag 9 februari t/m 22 maart, 5 april t/m 26 april, 10 mei, 24 mei.
• Tijd: 9.00–10.45

Behandelde stof

Werkcollege

• Assistenten:
  • René Pannekoek, zaal B1, kamer 231, e-mail: rene (at) math.leidenuniv.nl
  • Wouter Zomervrucht, zaal 412, kamer 205, e-mail: wzomervr (at) math.leidenuniv.nl
  • Alexander Tonkelaar, zaal 412, kamer 205, e-mail: atonkela (at) math.leidenuniv.nl
  • Anco Moritz, zaal B2, kamer 205, e-mail: amoritz (at) math.leidenuniv.nl
  • Arend de Jonge, zaal B2, kamer 205, e-mail: ajonge (at) math.leidenuniv.nl
  • Josse van Dobben de Bruyn, zaal B1, kamer 205, e-mail: jdobben (at) math.leidenuniv.nl
  • Johan Commelin, zaal n.v.t., kamer 205, e-mail: jcommeli (at) math.leidenuniv.nl
• Locatie: B1, B2, 412 (Snellius)
• Indeling (voorlopig, op beginletter achternaam): A–J in 412, K–Q in B1, R–Z in B2
• Data: donderdag 9 februari t/m 22 maart, 5 april t/m 26 april, 10 mei, 24 mei.
• Tijd: 11.15–13.00

Tentamen

• Tentamen: donderdag 28 juni, 10.00–13.00. Locatie: Gorlaeus, zalen C4 en C5. Voor voldoende papier wordt gezorgd.
• Hertentamen: donderdag 9 augustus, 14.00–17.00. Locatie: Snelliusgebouw, zaal TBA.

Huiswerk

Per week moeten 4 (vanaf inleverdatum 5 april wordt dit 3) opgaven ingeleverd worden, te kiezen uit de opgaven die hieronder wekelijks bekend zullen worden gemaakt. Het huiswerk bepaalt de helft van het eindcijfer en is dus essentieel voor het halen van het vak.

Er zijn opgaven van 2 punten en opgaven van 3 punten. Bij het maken van de opgaven mag naar opgaven verwezen worden die in eerdere weken als huiswerk waren opgegeven. Naar andere opgaven mag alleen verwezen worden als daar expliciet toestemming voor is gegeven OF als de zekere opgave in dezelfde huiswerkset is gemaakt. Wanneer je een opgave maakt met een sterretje, dan is dat onderdeel niet optioneel.

Het huiswerkcijfer wordt bepaald door de volgende formule: cijfer = (3/4)*punten + 1 (en dit wordt cijfer = 1 + punten). Dit betekent ook dat als je alleen maar 2-puntsopgaven maakt, je maximaal een 7 kan halen.

Als je vastzit bij het maken van een opgave, kun je altijd voor hulp langslopen bij een van de werkgroepbegeleiders of de docent, of e-mailen.

De cijfers komen hier te staan (niet op naam, maar op studentnummer).

Voetnoten

1. Alleen de eerste zin.
2. Met bewijs.
3. Je mag 22 gebruiken.
4. Controleer dat je voor n=5 precies 120 elementen krijgt.
5. De laatste zin mag je overslaan.
6. Je mag 46 gebruiken. Hint: Doe eerst opgave 6.
7. Met behulp van 3.11
8. Bewijs dat er een a in R^2 is zodat voor alle \phi in Sym(F) geldt dat \phi(a)=a, en neem die a als oorsprong.
   Enige hints. Laat zien dat de afbeelding L: Sym(F) --> O_2(R) injectief is, dat iedere niet-triviale \phi in Sym(F)^+ een uniek vast punt a_\phi heeft, en dat Sym(F)^+ commutatief is.
9. Lees `met een positieve factor' als `met dezelfde positieve factor'.
10. Ook in het geval met drie ondergroepen moet je je uitspraak bewijzen.
11. Je moet de hint uitwerken, je mag 42 gebruiken.
12. Geef ook de vermenigvuldigingstabel van S_4/H_2.
13. Dus, zoals gebruikelijk, inclusief het ster-onderdeel, waar je ook een bewijs moet geven.
14. Geef ook een verzameling representanten (een deelverzameling R van X die van iedere baan precies 1 element bevat). Opg. 5.2 mag gebruikt worden, en die wordt gedaan in het college.
15. Geef ook een verzameling representanten.
16. Je mag gebruiken dat isometrieen van de R^3 die O bewaren lineair zijn.
17. Hint: begin met c.
18. Je mag 5.19 gebruiken.
19. 2 punten voor A^{tor} ondergroep, en 2 punten voor eigenschap A/A^{tor}.
20. Zonder de laatste zin.
21. Zonder de laatste zin.
22. (Een variant van 5.16) Bepaal het aantal kleuringen met n (n\geq 1) kleuren van de hoekpunten van de kubus, op rotatie symmetrie (de groep K^+) na.
23. Maar met n (n\geq 1) kleuren. Let op, de symmetriegroep is D_5.
24. Hint: gebruik 5.20.
25. Hints. Laat G werken op G/H_1 \times G/H_2 en gebruik Stelling 5.3. Voor het 2e deel: bekijk G = S_3.
26. Je mag 5.27 gebruiken, en de uitkomst van 5.9: 1, 20, 15, 12, 12.
27. Je mag 5.45 en 4.34 gebruiken.
28. Gebruik Stellingen 5.14, 5.10 en 5.9
29. Je mag 5.42 gebruiken.
30. Je mag 5.39 gebruiken.
31. Hint: bepaal de orde van x in (Z/pZ)^*.
32. Je mag 6.25 gebruiken.
33. Gebruik de banenformule.
34. Stel H is een ondergroep van G, ongelijk aan G. Gebruik 5.49 om te bewijzen dat G niet de vereniging is van de geconjugeerden van H.
35. Neem a = 54321 en b = 98765. Laat je berekening zien.
36. Laat je berekening zien.
37. Vergeet het tweede deel niet.
38. Ter herinnering: een lichaam is een commutatieve ring, waarin 1 en 0 niet gelijk zijn, en iedere x ongelijk 0 multiplicatief inverteerbaar is.
39. Alleen het eerste deel.
40. Doe opgave 4.23 en laat zien dat de ondergroepen cyclisch zijn. Je mag 6.42 gebruiken zonder die te bewijzen.
41. Hint: probeer G=A_4.
42. Je mag opgave 2.23 gebruiken.
43. Je mag opgave 8.13 gebruiken, en let op het geval n=1.

Reglement voor huiswerk

Huiswerk wordt op de volgende manier behandeld:

• Huiswerk moet aan het begin van het werkcollege worden ingeleverd.
• Huiswerk dat op tijd is ingeleverd krijgt een cijfer tussen 1 en 10.
• Huiswerk dat te laat, maar minder dan een week te laat, is ingeleverd krijgt 60% van het cijfer dat het gehad zou hebben als het op tijd was.
• Huiswerk dat meer dan een week te laat wordt ingeleverd telt niet mee.
• De twee laagste huiswerkcijfers tellen niet mee voor het eindhuiswerkcijfer.
• Het is geen enkel probleem als mensen samenwerken bij de opgaven, zolang je bij elke opgave vermeldt met wie je hebt samengewerkt en het schrijven van de daadwerkelijke uitwerking een individuele aangelegenheid blijft.
• Woordelijke kopieën worden niet geaccepteerd.
• Bij het maken van de opgaven mag naar opgaven verwezen worden die in eerdere weken als huiswerk waren opgegeven. Naar andere opgaven mag alleen verwezen worden als daar expliciet toestemming voor is gegeven OF als de zekere opgave in dezelfde huiswerkset is gemaakt.

Inhoud

In dit eerste college uit de algebracyclus wordt een aantal onderwerpen zoals gehele getallen, permutaties, symmetriegroepen en restklassen, geabstraheerd en geünificeerd in het begrip "groep". Er wordt aandacht geschonken aan toepassingen in de combinatoriek, de vlakke meetkunde, de getaltheorie en de cryptografie. Behandeld worden: permutaties, vlakke symmetrieën, groepshomomorfismen, groepswerkingen, modulorekenen, het RSA-cryptosysteem, producten en quotiënten van groepen, abelse groepen, Sylowondergroepen.

Het college bouwt voort op de colleges van het eerste semester.

Literatuur

Het dictaat Algebra 1 van Peter Stevenhagen zal als richtlijn dienen voor het college. Dit dictaat is te koop voor € 9,– bij het eerste college en bij het secretariaat (kamer 203a). Het wordt zeer gewaardeerd als gepast betaald wordt. Daarnaast is het dictaat hier online beschikbaar.

Tentamenregeling

Het eindcijfer is het gemiddelde van het cijfer voor het afsluitend tentamen en het cijfer voor de wekelijkse huiswerkopgaven. Bij het tentamen mogen boeken, dictaten en aantekeningen gebruikt worden, maar geen rekenmachines of andere elektronische hulpmiddelen.

Succesvolle deelname aan dit vak wordt beloond met 6 ECTS-studiepunten. Hiervoor moet het cijfer voor het tentamen ten minste een 5 bedragen en het eindcijfer ten minste een 5,5.